# L3 | Yield Curve Analytics ## Resumen Este documento resume la metodología implementada en la aplicación web estática de analítica de curva de tasas. La plataforma estima, compara y visualiza estructuras temporales de tasas de interés directamente en el navegador, usando una base de mercado ya incorporada en el sitio. La aplicación combina cuatro bloques analíticos: 1. ajuste `Nelson-Siegel`; 2. ajuste `Nelson-Siegel-Svensson`; 3. interpolación `Cubic spline`; 4. módulos dinámicos basados en `AR(1)` y `Kalman`. La motivación es convertir una lógica cuantitativa normalmente encapsulada en notebooks en una experiencia web usable, visual y publicable como sitio estático. --- ## 1. Objetivo La plataforma busca resolver cuatro necesidades: 1. transformar tasas observadas en curvas continuas comparables por fecha; 2. mostrar curvas spot y curvas forward de forma inmediata; 3. permitir comparación histórica entre fechas de mercado; 4. ofrecer una capa simple de proyección y una versión dinámica suavizada de factores. --- ## 2. Universo de datos La base incorporada trabaja con los siguientes nodos: - `TPM` - `SPC_03Y` - `SPC_06Y` - `SPC_1Y` - `SPC_2Y` - `SPC_3Y` - `SPC_4Y` - `SPC_5Y` - `SPC_10Y` Madureces en meses: $$ \mathcal{M} = \{1, 3, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120\} $$ La aplicación opera con un dataset ya embebido, por lo que no requiere carga manual de archivos ni backend. --- ## 3. Limpieza y normalización Antes de estimar, la aplicación: - normaliza aliases legacy; - convierte `Date` a índice temporal usable; - convierte columnas de tasas a numérico; - conserva vacíos reales como `NaN`; - filtra solo fechas completas para las series seleccionadas. Ejemplo de normalización: $$ \texttt{spc\_pesos\_2y} \rightarrow \texttt{SPC\_2Y} $$ Conversión de tipos: $$ x_{t,m} = \begin{cases} \mathrm{float}(v), & \text{si } v \text{ es parseable} \\ \mathrm{NaN}, & \text{si } v \text{ es vacío o inválido} \end{cases} $$ Una fecha `t` es usable para un conjunto de columnas `C` si: $$ \forall c \in C,\quad x_{t,c} \in \mathbb{R} $$ --- ## 4. Notación - `tau`: madurez en años - `m`: madurez en meses - `y_t(tau)`: tasa spot observada o estimada en la fecha `t` - `beta_t`: vector de factores del modelo - `lambda`: parámetro de decaimiento - `epsilon_t`: error de medición - `eta_t`: ruido de transición Relación meses-años: $$ \tau = \frac{m}{12} $$ --- ## 5. Modelo Nelson-Siegel La curva se modela como: $$ y_t(\tau)= \beta_{1,t} + \beta_{2,t}\left(\frac{1-e^{-\lambda\tau}}{\lambda\tau}\right) + \beta_{3,t}\left(\frac{1-e^{-\lambda\tau}}{\lambda\tau} - e^{-\lambda\tau}\right) $$ Interpretación de factores: - `beta_1,t`: nivel - `beta_2,t`: pendiente - `beta_3,t`: curvatura Definiciones: $$ L(\tau,\lambda)=\frac{1-e^{-\lambda\tau}}{\lambda\tau} $$ $$ C(\tau,\lambda)=L(\tau,\lambda)-e^{-\lambda\tau} $$ Entonces: $$ y_t(\tau)=\beta_{1,t}+\beta_{2,t}L(\tau,\lambda)+\beta_{3,t}C(\tau,\lambda) $$ La estimación por fecha se realiza por mínimos cuadrados: $$ \hat{\beta}_t=(X_t'X_t)^{-1}X_t'y_t $$ donde: $$ X_t= \begin{bmatrix} 1 & L(\tau_1,\lambda) & C(\tau_1,\lambda) \\ 1 & L(\tau_2,\lambda) & C(\tau_2,\lambda) \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & L(\tau_n,\lambda) & C(\tau_n,\lambda) \end{bmatrix} $$ --- ## 6. Modelo Nelson-Siegel-Svensson La extensión Svensson agrega una segunda curvatura: $$ y_t(\tau)= \beta_{1,t} + \beta_{2,t}L(\tau,\lambda_1) + \beta_{3,t}C_1(\tau,\lambda_1) + \beta_{4,t}C_2(\tau,\lambda_2) $$ Definiciones: $$ C_1(\tau,\lambda_1)=\frac{1-e^{-\lambda_1\tau}}{\lambda_1\tau}-e^{-\lambda_1\tau} $$ $$ C_2(\tau,\lambda_2)=\frac{1-e^{-\lambda_2\tau}}{\lambda_2\tau}-e^{-\lambda_2\tau} $$ Se estima de manera análoga: $$ \hat{\beta}_t=(X_t'X_t)^{-1}X_t'y_t $$ pero con cuatro columnas en la matriz de diseño. --- ## 7. Cubic spline natural El spline cúbico natural interpola los nodos observados mediante polinomios por tramo: $$ s_i(\tau)=a_i+b_i(\tau-\tau_i)+c_i(\tau-\tau_i)^2+d_i(\tau-\tau_i)^3 $$ Sujeto a: - continuidad en nivel; - continuidad en primera derivada; - continuidad en segunda derivada; - condiciones naturales en extremos: $$ s''(\tau_1)=0,\qquad s''(\tau_n)=0 $$ Este enfoque es útil cuando se prefiere suavidad sobre interpretación económica de factores. --- ## 8. Curvas forward La aplicación deriva forwards discretas entre meses consecutivos a partir de la curva spot: $$ f(t_1,t_2)= \left( \frac{(1+z(t_2))^{t_2}}{(1+z(t_1))^{t_1}} \right)^{\frac{1}{t_2-t_1}} - 1 $$ En la implementación: $$ t_2 = t_1 + \frac{1}{12} $$ Esto produce una curva forward mensual implícita por la curva spot estimada. --- ## 9. Proyección AR(1) sobre factores Para cada factor de Nelson-Siegel se ajusta un proceso independiente: $$ x_t = a + \phi x_{t-1} + \varepsilon_t $$ con: $$ \varepsilon_t \sim (0,\sigma^2) $$ La proyección recursiva a `h` pasos es: $$ \hat{x}_{T+1}=a+\phi x_T $$ $$ \hat{x}_{T+2}=a+\phi \hat{x}_{T+1} $$ $$ \hat{x}_{T+h}=a+\phi \hat{x}_{T+h-1} $$ Los betas proyectados se usan para reconstruir la curva futura: $$ \hat{y}_{T+h}(\tau)= \hat{\beta}_{1,T+h} + \hat{\beta}_{2,T+h}L(\tau,\lambda) + \hat{\beta}_{3,T+h}C(\tau,\lambda) $$ Esta pestaña entrega: - curva actual estimada; - curva observada; - curvas proyectadas por horizonte; - curvas forward correspondientes. --- ## 10. Dynamic Nelson-Siegel con Kalman La pestaña `Kalman` usa una formulación de espacio de estados donde la estructura Nelson-Siegel actúa como ecuación de medición y los factores evolucionan con persistencia propia. ### 10.1 Ecuación de medición $$ y_t = H(\lambda)\alpha_t + \varepsilon_t $$ donde: - `y_t`: vector de tasas observadas - `alpha_t = [beta_1,t, beta_2,t, beta_3,t]'`: estado latente - `H(lambda)`: matriz de cargas Nelson-Siegel - `epsilon_t ~ N(0, R)`: error de medición ### 10.2 Ecuación de transición $$ \alpha_t = c + F\alpha_{t-1} + \eta_t $$ con transición diagonal: $$ F = \begin{bmatrix} \phi_1 & 0 & 0 \\ 0 & \phi_2 & 0 \\ 0 & 0 & \phi_3 \end{bmatrix} $$ y: $$ \eta_t \sim \mathcal{N}(0,Q) $$ ### 10.3 Calibración aproximada La implementación actual usa una aproximación parsimoniosa: 1. estima Nelson-Siegel estático fecha a fecha; 2. ajusta un `AR(1)` separado sobre `level`, `slope` y `curvature`; 3. usa las varianzas residuales para construir `Q`; 4. usa residuos cross-sectional para aproximar `R`. ### 10.4 Filtro Predicción: $$ a_{t|t-1}=c+Fa_{t-1|t-1} $$ $$ P_{t|t-1}=FP_{t-1|t-1}F'+Q $$ Innovación: $$ v_t=y_t-Ha_{t|t-1} $$ $$ S_t=HP_{t|t-1}H'+R $$ Ganancia: $$ K_t=P_{t|t-1}H'S_t^{-1} $$ Actualización: $$ a_{t|t}=a_{t|t-1}+K_tv_t $$ $$ P_{t|t}=(I-K_tH)P_{t|t-1} $$ ### 10.5 Suavizado La app además aplica un backward smoother: $$ J_t=P_{t|t}F'P_{t+1|t}^{-1} $$ $$ a_{t|T}=a_{t|t}+J_t(a_{t+1|T}-a_{t+1|t}) $$ ### 10.6 Resultado La salida visible para el usuario es: - curva spot filtrada; - curva forward filtrada; - comparación entre fechas bajo una trayectoria latente suavizada. Esta implementación no pretende ser una estimación institucional completa de `Dynamic Nelson-Siegel`, sino una aproximación parsimoniosa y usable en frontend. --- ## 11. Descargas La aplicación permite descargar: - datos limpios; - curvas spot; - curvas forward; - proyecciones por horizonte. Cada descarga se genera localmente en el navegador mediante `Blob` y un enlace temporal. --- ## 12. Limitaciones - la base es embebida y no se actualiza automáticamente; - no hay backend ni persistencia de usuario; - la proyección `AR(1)` es deliberadamente simple; - el módulo `Kalman` es una versión reducida y exploratoria, no una calibración full maximum-likelihood. --- ## 13. Conclusión La herramienta se posiciona como un puente entre: - analítica cuantitativa; - visualización ejecutiva; - simplicidad de despliegue; - prototipado serio de herramientas de renta fija. No busca reemplazar una plataforma institucional completa, sino convertir una base real de tasas y modelos estándar de curva en una experiencia web legible, usable y publicable.